1+1은 왜 2인가? 당신은 대답할수있는가?

1+1 은 왜 2인가?

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라는 질문에 답할 수 있는가?

 

우리의 천재발명가 에디슨씨는 학창시절에 진지하게 이를 물어본 적이 있다고 한다.

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"물방울은 하나와 하나가 합쳐지면 하나가 되는데 왜 1+1=2입니까? "

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이는 기존의 틀을 과감히 깨부수는 천재들의 창의성을 강조하기 위해 창작된 일화일 수도 있다
 

 

그런데 한번 진지하게 물어보자

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1+1이 왜 2인가?????

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꼬마 에디슨씨의 다소 엉뚱한 물음을 꽤나 진지하게 받아들인 수학자들이 있었다.

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그리고 그들은 이 문제를 가지고 수십년의 세월을 연구하고, 논쟁하고 울고 웃었다.

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그런데 의문이 들것이다

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아니 왜 수학자들이 할 짓거리가 없어서 그런걸 고민하냐고...

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이에 대한 대답을 하기 위해 뜬금없지만 조선시대로 가보자

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곱셈 문제 줬더니 기하와벡터 문제로 되려 명치때리는 인성터진 조선의 수학자 홍정하씨의 일화이다

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사실 홍정하를 띄우려고 ebs 측에서 뒷이야기를 수록 안 했는데

그 뒤 중국 사신 하국주가 삼각함수 문제로 역으로 명치를 때리자 홍정하 역시 대답을 못했고

나중에 뒤풀이에서 서로 못풀었던 문제를 풀어주며 훈훈하게 마무리한다.

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각설하고 왜 뜬금없이 조선시대 얘기를 꺼내느냐?

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뒷이야기의 뒷이야기를 뜯어보면 하국주씨도 인성이 꽤나 터졌다.

조선에는 알려지지 않았던 '삼각함수'를 문제로 낸것이다.

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비유하자면 초딩한테 사칙연산 배틀 지니까 빡쳐서 미적분 들고와서 풀어보라고 한 셈이다.

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그런데 삼각함수는 서양에서 개발되었다.

사실 중국 사신 하국주씨도 서양인 선교사가 번역한 기하학책을 읽고 공부한것이다.

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근데 왜 동양은 삼각함수를 개발하지 못했는가?

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삼각함수는 조금 어려우니 조금 더 쉬운걸로 묻자

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왜 동양은 피타고라스의 정리를 개발하지 못했는가?

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공자왈 맹자왈 하느라 시간 낭비해서?

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그런식으로 따지면 서양도 4원소가 어쩌니 하느님이 어쩌니 하면서 허송세월한 시간도 만만치 않다.

 

사실 동양도 피타고라스 정리 비스무리한건 있었다.

구고현의 정리라고 하는데 그래서 지금도 중국은 피타고라스의 정리라고 안하고 구고현의 정리라고 한다.

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근데 이건 피타고라스의 정리에 비할바가 아니다.

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구고현의 정리는 세변의 길이의 비가 3:4:5일때는 직각삼각형이 된다고 정리해 놓은 건데

직각삼각형의 비가 3:4:5 인것은 어떤 문화권, 시대를 막론하고 경험적으로 체득한 사실이다.

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그럼 피타고라스의 정리와 구고현의 정리의 차이를 결정짓는 근본적인 요인이 무엇인가 하면

바로 '일반화의 유무'이다.

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피타고라스의 정리는 3:4:5 이외에 무수히 많은 세변의 비율을 일반적으로 도출해 낼수 있다

가령 5:12:13, 7:24:25..... 심지어 1:1:√2 라는 요상망측한 비율까지.....

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그렇다. 동양수학은 서양수학과 다르게 일반화를 할 시도를 거의 하지 않았다.

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반대로 동양수학은 실생활에 적용될 수 있는 분야에서만 수학을 한정지었다.

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실제로 동양의 고전 수학책들을 보면 거의 대부분

실생활에 관련된 문제와 답으로만 단편적으로 구성되어있다.

(ex 토지 측량, 장사할때 돈계산 등등.....)

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조선의 수학자 홍정하도 사실 중인이고 잡과 출신으로

이 잡과가 뭐냐하면 요즘으로 치면 기술직, 즉 기술자가 되는 시험이다.

엄밀히 말하자면 수학으로 먹고사는 '수학자'는 아닌셈이다.

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이렇게 동양에서는 수학을 실생활을 이롭게 해주는 도구라고만 여겼다.

그렇기 때문에 수학이 '연역화'의 길로 나아가지 않게 되었다.

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이상한 단어가 또 막 튀어나온다. '연역화'는 그럼 뭘까? 이게 조금 어렵다

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이 사람을 보자

 

누군고 하니 바로 플라톤이다. 서구의 지적전통을 다진 사람이라도 해도 과언이 아니다.

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먼저 플라톤의 철학을 간단히 살펴보자

 

플라톤 철학의 핵심은 이데아론이다.

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플라톤은 시공을 초월하는 존재인 이데아가 있고 우리가 보는 세계는 이데아의 그림자 격이라고 생각했다.

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즉 위 그림에서 이데아는 토끼이고 비춰진 손바닥 모양의 형상은 우리가 보는 세계이다.

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그렇기 때문에 이데아만이 참된 본질이다.

우리가 보는 세계는 얼마든지 왜곡될 수 있기 때문에 불완전한 것이다.

 

플라톤은 우리가 이데아를 죽었다 깨나도 볼 수 없고,

종교에서 말하는 천국과 지옥처럼 시공을 초월한 세상 저편 너머에 존재하는 무언가라고 생각했다.

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우리가 절대 도달할 수 없는 진정한 진리가 바로 이데아지만

불변의 진리를 찾아보는 것은 학자로서 너무나도 매력적인 일이었기에

플라톤은 이 이데아를 볼 수 있기를 너무나도 갈망해했다.

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그래서 그는 이 이데아에 도달할 수단을 찾았고

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그는 그걸 수학이라고 결론지었다.

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수학적 지식은 시공을 초월하여 정해져있다고 생각했기 때문이다.

 

가령 미적기준을 예로 들어보자.

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물론 '미적기준'이란 이데아도 존재한다.

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그러나 우리는 이데아의 그림자인 왜곡된 것을 바라보기 때문에

사람마다 다른 미적기준을 가지게 되는것이다.

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시대와 공간을 초월하는 미적기준이 있을까? 대답하기 쉽지않다.

 

그에비해 우리가 위에서 언급했던 1+1=2를 보자. 1+1=2는 이세상 어느곳을 가든 자명하다.

고대를 가든, 현대를 가든, 동양에 가든, 서양에 가든 1+1=2 이다.

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그래서 플라톤은 수학은 우리가 세계에서 볼 수 있는 것 중에 이데아에 가장 가까운 것이라 여겼고,

이를 연구하면 이데아에 가까워질 수 있을거라고 생각했다.

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그래서 본인 스스로 수학을 가르치는 학교까지 설립했고 이는 아카데미의 어원인 '아카데미아'이다.

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각설하고 우리는 지금 동양과 서양의 수학적 차이가 왜 벌어졌는지를 이야기하고 있었다.

그에 대한 답은 '철학이 달라서' 이다.

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플라톤의 철학적 전통은 그대로 이어져 서양은 수학을 단순히 실생활에 도움을 주는 도구가 아닌

진리탐구의 수단으로 보았다. 세계의 본질을 찾아내는 도구로 인식한것이다.

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그래서 서양은 수학을 실생활의 영역에서 넘어서 '연역화'를 하였다.

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유클리드 [원론]을 보자. 유클리드 원론은 서양 수학의 성경이나 다름없는 책이다.

서양 수학자들이 한국으로 치면 수학의 정석 보다 백만배정도 더 중요하게 생각하는 책이다.

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여기서 유클리드는 5가지의 공리(변하지 않는 사실)를 정해놓고 이를 바탕으로 248개의 명제를 증명했다.

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이처럼 소수의 일반적인 원리로부터 논리적인 절차를 밟아서

낱낱의 사실이나 명제를 유도하는 것을 연역이라 한다.

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이런 연역적 방법론이 동양 수학에선 존재하지 않았다.

'어떻게' 풀었는지만 중시하고 '왜' 그렇게 되었는지는 관심밖의 일이었다.

 

우리 홍정하씨가 쓴 [구일집]도 개개의 문제에 대해 나뭇가지를 사용하여 문제를 풀어내는 방법만 적어놨지

어떠한 논리체계를 거쳐 그런 결론에 다다른지는 기술하지 않고 있다.

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서양수학이 '왜?'에 집착한 이유도 바로 플라톤의 철학에 근거한다.

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수학은 세계의 본질을 찾는 학문이기 때문에

반드시 체계적이고 선후관계가 논리적으로 완벽해야 하기 때문이다.

 

이런 시각을 가장 극명하게 보여주는 일례로

서양수학의 아버지이자 위에서 언급한 유클리드의 일화가 있다.

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유클리드가 강의하던 도중 누군가 손을 들고

'도대체 수학을 배워서 어따 써먹을 수 있습니까?' 라고 질문하자 하인을 불러

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"여봐라, 배운 것으로 반드시 이득을 얻으려고만 하는 저 친구에게는

동전 세 닢만 주고 강의실 밖으로 쫓아내라." 라고 일갈한 일화가 있다.

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이처럼 수학을 단순히 계산도구의 일종이라 본 동양과는 궤를 달리했고

그래서 동양의 수학은 피타고라스의 정리나 삼각함수,

더 나아가서 미적분학 같이 추상적이고 일반화된 수학으로 발전하지 못한것이다.

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단순히 누가 더 똑똑하고 말고나 유교경전을 읊고 안읊고의 차이가 아니다

 

서론이 너무 길었다.

그렇다면 다시 첫번째 질문으로 돌아가자

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1+1은 왜 2인가?

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라는 질문에 전통적 서양 수학자들이 한 대답은.....

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'원래 그렇다!' 이다

 

????..... 뭔가 맥이 빠지는 대답이지만

그것이 유클리드 이래로 수천년동안 서양 수학자들이 가졌던 생각이다.

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1+1=2 라는것은 수학적 진리이고, 저 머나먼 세상 이데아의 세계에 그렇게 정해져있다.

이것이 플라톤의 대답이다.

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그리고 이 지적전통이 이어져 중세시대에는 '하나님이 그렇게 정했다!' 라고 대답한다.

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이런 믿음은 1900년대 초까지 흔들림 없이 이어진다.

 

한번쯤은 들어봤을 하디 바인베르크 법칙의 유도자이며

한 시대를 풍미한 천재 수학자 하디는 이렇게 말했다

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'........나는 수학적 실체가 우리를 벗어나 있으며,

우리의 수학적 기능은 그것을 발견하거나 관찰하는 것일 따름이라고 믿는다.

따라서 우리가 '창조'했노라고 호언하는 것들도 사실은 우리가 관찰한 것에 대한 기술에 지나지 않는다.....

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317은 소수이다. 그런데 이는 우리가 그렇게 생각해서도 아니고

우리의 마음이 이런저런 방식으로 형성되어 있기 때문도 아니다.

317은 소수이기 때문에 소수이며, 수학적 실체가 본래 그렇게 구축되어 있기 때문에 그럴 뿐이다........'

 

이런 주장에 따르면 에디슨씨는 하늘을 보고 '저건 왜 땅이 아니고 하늘이에요?' 라고 물은셈이다.

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이처럼 1+1=2 이다.

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왜냐고? 응 원래 그래....

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그러나 이런 믿음이 굳게 이어지다

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어느 순간 흔들리기 시작한다.....